Dividimos el problema en dos partes y calculamos el límite de cada uno de los sumandos en un cálculo auxiliar:

$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3+7 n^{2}}{5+n^{2}}$

Ya hicimos muchas veces límites como estos, vamos, sacamos factor común y lo justificamos enseguida ;)

$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2 \cdot (\frac{3}{n^2}+7)}{n^2 \cdot (\frac{5}{n^2}+1)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3}{n^2}+7}{\frac{5}{n^2}+1} = 7$ 

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^{2}+6 n+17}-\sqrt{n^{2}+17}$

En este caso estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito", y con esas raíces cuadradas, mmm... sale multiplicar y dividir por el conjugado, no? 

$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{n^{2}+6n+17} - \sqrt{n^{2}+17} \right) \cdot \frac{\sqrt{n^{2}+6n+17} + \sqrt{n^{2}+17}}{\sqrt{n^{2}+6n+17} + \sqrt{n^{2}+17}} $ Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados: $ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{n^{2}+6n+17})^{2} - (\sqrt{n^{2}+17})^{2}}{\sqrt{n^{2}+6n+17} + \sqrt{n^{2}+17}} $ Simplificamos raíces con potencias: $ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}+6n+17 - n^{2}-17}{\sqrt{n^{2}+6n+17} + \sqrt{n^{2}+17}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{6n}{\sqrt{n^{2}+6n+17} + \sqrt{n^{2}+17}} $ Llegamos a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", primero sacamos factor común \( n^2 \) en las raíces: $ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{6n}{\sqrt{n^{2}(1+\frac{6}{n}+\frac{17}{n^{2}})} + \sqrt{n^{2}(1+\frac{17}{n^{2}})}} $ Distribuimos la raíz $ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{6n}{n\sqrt{1+\frac{6}{n}+\frac{17}{n^{2}}} + n\sqrt{1+\frac{17}{n^{2}}}} $ Sacamos factor común \( n \) en el denominador: $ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{6n}{n(\sqrt{1+\frac{6}{n}+\frac{17}{n^{2}}} + \sqrt{1+\frac{17}{n^{2}}})} $ Simplificamos las $n$ y tomamos límite $ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{n}+\frac{17}{n^{2}}} + \sqrt{1+\frac{17}{n^{2}}}} = \frac{6}{2} = 3 $

Perfecto, entonces ahora volvemos a nuestro límite original. Por álgebra de límites, el resultado total sale de sumar los dos límites que hicimos en los cálculos auxiliares y nos queda...

\[ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3+7 n^{2}}{5+n^{2}}+\sqrt{n^{2}+6 n+17}-\sqrt{n^{2}+17}\right) = 7 + 3 = 10 \]